Удивительный мир фигур в математики

Удивительный мир фигур в математики. Научно-практическая работа , 2010 г.

Научный руководитель: учитель математики Великая Людмила Ивановна.

Работу выполнила ученица 8 «А» класса: Новикова Карина

Аннотация

Изучая математику, не возможно не обратиться к ее истории. “ Мы потому видим так далеко, что стоим на плечах великих”. Как развивалась наука математика, какие темы интересовали в те далекие времена, как стремились люди к познанию истины, какие совершали открытия. Такие сведения носят познавательный характер, служащий расширением кругозора учащихся, вызывают интерес к математике.Данная работа предназначена для ознакомления широкому кругу учащихся, которые смогут почерпнуть дополнительные знания и расширить свой кругозор.

Страницы истории.

Мы научились оперировать с натуральными и дробными числами, знаете отрицательные и положительные числа. По-гречески «число»- арифмос (apivuos). Почти все науки зародились в Греции, вот и понятно, что эта часть математики получила греческое название «арифметика».Другой раздел математики посвящен различным фигурам и их свойствам, называется он геометрией, что тоже очень просто объясняется. Гео (yea)- по-гречески «земля», (в Древней Греции и богиня Земли звалась Геей), а метрео (uetpew)- меряю. Поначалу речь шла о «Землемерии».

Но вот слово алгебра название того раздела математики где решают задачи с помощью уравнений, обозначая буквами неизвестные числа и преобразуя выражения, содержащие эти неизвестные, не греческое. В чем тут дело? Что у греков не было алгебры? Но ведь трудно даже представить себе, что люди, догадавшиеся о существовании атомов и о шарообразности Земли, сумевшие подсчитать размеры нашей планеты, доказавшие сложные теоремы, не могли, скажем, решить задачи о фазанах и кроликах!

Умели, только обходиться они безо всяких уравнений, решая подобные, а нередко и куда более сложные задачи по здравому смыслу, вовсе не применяя букв для обозначения чисел.А чем вообще полезно применение буквенных обозначений?

Вы знаете, например, что длина окружности равна произведению ее диаметра на число П (пи) равное приблизительно 3,14. Смысл этой фразы можно описать формулой С=пD, состоящей из трех букв и знака равенства. Мы знаем, что произведение суммы двух чисел на третье число равно сумме произведений каждого из слагаемых на это третье число. Суть этой длинной фразы можно выразить так: (a+b)c=ac+bc. Кстати, этот же факт можно было бы изложить еще одним способом –

геометрически, как это сделано на рисунке

B F C

A a F b D

Ведь площадь прямоугольника ABCD может быть найдена двумя путями:

Умножением длины a+b на ширину c, или же сложением площадей прямоугольников ABFE и EFCD, то есть ac+bc.

Мы получили три способа изложения распределительного свойства:

Словесный – понятный, но неудобный для запоминания,

Геометрический – наглядный, но не всегда удобный для вычислений

И, наконец, символьный – краткий, легко запоминающийся.

Нельзя говорить о том, какой из этих способов «самый лучший». Они все хороши. Просто людям с разными привычками, с разными характерами, с разным воспитанием и обучением в разных случаях может понадобиться один из этих «языков». Что лучше: написать приятелю письмо, позвонить по телефону или встретиться в сквере около кино? Все хорошо, все зависит от разных обстоятельств, все «лучше».

Ученым Древней Греции по ряду причин был близок геометрический язык. Многие законы излагаются на нем просто и красиво. Их предшественникам, мудрецам Вавилона и Египта, удобным казался словесный способ (да они и не знали другого). А вот арабским ученым словесный способ понравился больше, чем геометрический. Особенно после того, как они сумели этот способ усовершенствовать.

Чем труден язык арифметического решения? Надо все время помнить условие, помнить, как связаны входящие в условия задачи числа, думать о фазанах и кроликах, проще говоря, надо все время понимать смысл выполняемых вычислений.

А при алгебраическом решении? Труднее всего составить уравнение – для этого надо не только хорошо понять условие, но и суметь записать его в виде равенства выражений, содержащих буквы. Но зато потом надо не столько думать, сколько выполнять предписанный алгоритм:

· Раскрыть скобки.

· Привести подобные.

· Привести уравнение к виду ax=b, перенося известные члены в одну сторону, а неизвестные – в другую.

· Разделить b на a.

Надо основательно поработать, чтобы понять и выучить этот алгоритм, но зато в дальнейшем можно действовать по нему, не особенно задумываясь над смыслом действий – за нас будет думать уравнение. Не зря шутники говорят, что алгебра – арифметика для лентяев.

Вот к этим идеям и пришли арабы. Впервые об этом написал замечательный среднеазиатский астроном и математик Мухаммад бен Муса аль Хорезми (787-850) в «Краткой книге о восстановлении и противопоставлении».

О каком восстановлении и противопоставлении идет речь? Любой член уравнения мы имеем право «уничтожить» в одной части и «восстановить» (с противоположным знаком) в другой. Именно так мы поступили с числом тридцать в уравнении из задачи о фазанах и кроликах – слева зачеркнули, а справа восстановили. Числа сорок два и тридцать в правой части уравнения мы «противопоставили» точно так же, как противопоставили в левой части 4х и 2х, то есть 42-30=12, 4х-2х=2х.

Вот о чем шла речь в книге аль Хорезми.

В двенадцатом веке эту книгу перевели с арабского на латынь – язык средневековой науки в Европе. Вы знаете, что и сейчас, а тогда тем более,

Названия книг переводятся не во всех случаях. Наверное, вы слышали или даже читали поэмы Овидия «Метаморфозы». По-русски надо бы написать «превращения», но это не принято, как не принято переводить на русский язык, например название «Библия» - по-русски просто «Книга». Вы сами можете привести другие примеры.

Так вот, произведение Хорезми называлось «Китаб мухтасар аль джебр ва-л-мукабала». Китаб-книга, мухтасар-краткая, аль-артикль, аль джебр-восстановление, ва-союз «и», аль мукабала-противопоставление. Слово «аль джебр» переводчик не стал переводить, а просто записал его латинскими буквами. У него получилось algebr.

Забавно, что «алгебраистами» в средние века называли вовсе не математиков, а арабских хирургов-костоправов, тех, кто умел делать «аль-джебр» при вывихах и переломах костей. Об одном таком алгебраисте написал Сервантес в своем знаменитом романе «Хитроумный идальго Дон Кихот Ламанческий».

Поначалу вовсе не было принято обозначать неизвестные буквами.

Хорезми таких обозначений не использовал. Здесь вообще получилась удивительная история. Обозначать неизвестные буквами первым стал великий александрийский ученый Диофант еще в 3 веке н.э. И переносить члены из одной части уравнения он умел, то есть решал задачи «более алгебраически», чем Хорезми. Но, видимо, Хорезми не читал книгу Диофанта «Арифметика», где это описано. И он придумал свой способ, но обошелся без букв. Европейские же ученые тоже не очень хорошо знали книгу Диофанта и сведения о решении уравнений получили не из нее, а от арабов. Лишь в 11-17веках Диофант стал известен по-настоящему, неизвестные стали обозначать буквами, уравнения стали решать примерно так, как мы это делаем и сегодня.

Особенно много для того, чтобы алгебра стала настоящей наукой, сделали два замечательных француза-Франсуа Виет(1540-1603гг.) и Рене Декарт (1596-1650гг.) Заметим, что Ф.Виета за его заслуги часто называют «отцом алгебры». Носам он слово «алгебра» не применял, ибо, будучи глубоко верующим христианином, не хотел использовать слова, принадлежащие языку мусульман. И называл он (и не он один!) алгебру «аналитическим искусством», то есть искусством исследования. Наверное, понятнее, но слово «алгебра» короче, к нему привыкли, кроме того, алгебра дала людям массу возможностей для дальнейшего развития самых разнообразных наук.

Значит надо быть знакомым с алгеброй, чтобы суметь представить себе много удивительных вещей, относящихся не только к уравнениям.

Итак, язык Алгебры нам теперь знаком, и она может ввести нас в свой огромный дом. В доме этом много этажей, мы начнем с первого, потом подниметесь на второй, третий… Имейте в виду, что дом Алгебры не достроен - количество этажей все время увеличивается. Возводят новые этажи ученые- алгебраисты. Может быть, и кому-то из нас предстоит заняться такой работой.

Невозможные фигуры

Невозможными фигурами называют плоские изображения псевдотрехмерных объектов, которые не могут существовать в действительности. Их можно увидеть только как двухмерное изображение. Это напровление в искусстве получило название импоссибилизм (англ. impossible - невозможный). Родоначальником его, по-видимому, можно считать немецкого математика Августа Мёбиуса, который в 1835 году открыл ленту Мёбиуса - повернутую на пол оборота вечную ленту, имеющую только одну сторону и параллельный кант. Геометрически абсурдные явления получили свое гениальное художественное воплощение в творчестве голландца М.К Эшера в 60-е годы ХХ века.

По мнению психологов, невозможные фигуры помогают найти созвучие с более общими абстрактными образами, структурами, формами сознания (архетипами по К.Юнгу), давая возможность оторваться от реального мира физических объектов и сосредоточиться на бессознательном восприятии этих фигур. Быстрый переход от сознательного к бессознательному (структурно-образному) восприятию оказывает успокаивающее воздействие. Например, эффект действия сложной лестницы заключается в том, что по такой лестнице можно взбежать на один марш и остаться на исходной точке, что вызывает желание подняться еще на второй марш, что в свою очередь, вызывает желание подняться на третий и т.д.

Жанр искусства, подразумевающий изображение геометрически невозможных фигур, называется импоссибилизмом. Этот термин ввел в 1980 году американский искусствовед Тедди Бруниус специально для работ Оскара Рутерсварда, Мориса Эшера и их последователей. Рутерсвард утверждал, что плохо разбирается в математике но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания невозможных фигур по определенному ряду шаблонов. Он разделил фигуры на две основные группы - истинные и сомнительные. Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов (треугольник Пенроуза), а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, неожиданно исчезающих, если за ними проследить глазами.

Фигуры Рутерсварда

За свою жизнь Оскар Рутерсвард создал несколько тысяч невозможных фигур. Большую часть он просто чертил, соблюдая правила перспективы, а затем грамотно заштриховывал. Некоторые же он превращал в полноценные картины, некоторые оставались в виде набросков. Почти каждую фигуру Рутерсварда кто-нибудь рано или поздно создавал в объеме. Кое, какие сделал в объеме и сам художник.

Изометрические рисунки

Для передачи иллюзии трехмерной действительности используются двухмерные рисунки (рисунки на плоской поверхности). Обычно обман состоит в изображении проекций твердых фигур, которые человек пытается представить как трехмерные объекты в соответствии со своим личным опытом.

Классическая перспектива эффективна при имитировании действительности в виде "фотографического" изображения. Это представление неполно по нескольким причинам. Оно не позволяет нам видеть сцену с различных точек зрения, приблизиться к нему или рассмотреть объект со всех сторон. Оно не дает нам и эффекта глубины, которую реальный объект имел бы. Эффект глубины возникает из-за того, что наши глаза смотрят на объект с двух разных точек зрения, и наш мозг их совмещает в одно изображение. Плоский рисунок представляет сцену только с одной определенной точки зрения. Примером такого рисунка может быть фотография, сделанная при помощи обычного монокулярного фотоаппарата.

При использовании этого класса иллюзий, рисунок кажется на первый взгляд обычным представлением твердого тела в перспективе. Но при более близком рассмотрении становятся видны внутренние противоречия такого объекта. И становится ясно, что такой объект не может существовать в действительности. Некоторых людей нисколько не интригуют иллюзорные картины. "Всего лишь неправильная картина" - говорят они. Некоторые люди, возможно меньше 1% населения, не воспринимают их, потому что их мозг не способен преобразовывать плоские картины в трехмерные образы. Эти люди, как правило, испытывают сложности в восприятии технических чертежей и иллюстраций трехмерных фигур в книгах.

Другие могут увидеть, что с картиной "что-то неправильно", но они и не подумают спросить, каким образом получается обман. У этих людей никогда не возникает потребности понять, как работает природа, они не могут сосредоточиться на деталях за недостатком элементарного интеллектуального любопытства.

Возможно, понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Среди работ М. К. Эшера (M.C. Escher) есть очень много картин-иллюзий, а также сложных геометрических картин, которые можно отнести скорее к "интеллектуальным математическим играм", чем к искусству. Однако они производят впечатление на математиков и ученых.

Говорят, что люди, живущие на каком-нибудь тихоокеанском острове или глубоко в джунглях Амазонки, где никогда не видели фотографии, не смогут сначала понять, что изображает фотография, когда им ее покажут. Интерпретация этого специфического вида изображения является приобретенным навыком. Одни люди овладевают этим навыком лучше, другие – хуже.

Невозможные фигуры ("Impossible object") достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах - в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других - с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом (например, если колонна здания согласно правилам передачи перспективы должна заслонять Христа, то... тем хуже для колонны и она располагается иконописцем позади Него, порождая еще один невозможный объект). В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой "приходится" додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями.

Вот перед нами школа, в которой учатся Лейла и Меджнун (см. рис. 4). Кто именно из них Лейла, а кто - Меджнун и какой Кама-Сутрой они в этой школе занимаются - не вполне понять, ну да это и неважно. Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна даже дрозду. Его (сооружение, не дрозда!) можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть на картине изображен типичный невозможный объект. Вот она - сила искусства!!

Вывод:

Издавна человек стремился окружать себя красивыми предметами, располагать свое жилище в красивых местах и при возможности всячески украшать его. На уровне инстинкта люди чувствовали положительное влияние этих воздействий - недаром сейчас суррогаты природных воздействий (картины с изображением неправильных фигур) используются в лечебно-оздоровительных кабинетах. Необходимость этого для психического и физического здоровья подтверждена научно, ведь постоянное видимое поле, его насыщенность зрительными элементами оказывает воздействие на состояние человека, в частности на здоровье, психику и нравственность. Об этом красноречиво писал Ф.М. Достоевский: « Если в народе сохраняется идеал красоты и потребности ее, значит, есть и потребность здоровья, нормы, а, следовательно, тем самым гарантировано и высшее развитие этого народа».

Используемая литература

1.Баранова И.В., Ляпин С.Е. Задачи на доказательство по алгебре.- Л.: Учпедгиз 1954г.

2. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире.- М.: Наука, 1967г.

3. Германович П.Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. – М.: Учпедгиз, 1960г.

4. Депман И.Я. Рассказы о старой и новой алгебре.- Л.: Детская литература, 1967г.

5. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки.- М.: Наука, 1987г.

6. Кордемский Б. А. Математическая смекалка.- М.: ГИТТЛ, 1965г.

7. Никифоровский В.А. Из истории алгебры 16-17 веков.- М.: Наука, 1979г.

8. Никифоровский В. А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики.- М.: Наука , 1976г.

9. Фаддеев Д.К., Соминский И. С. Алгебра для самообразования.- 2-е изд.- М.: Наука, 1964г.